REPOZITORIJ > REZULTATI

Povzetek

Matematično modeliranje dinamičnih sistemov na osnovi opazovanja obnašanja sistema,
pogosto imenovano identifikacija sistema, temelji v bistvu na dveh nalogah: identifikaciji
strukture in identifikaciji parametrov modela.
Cilj prve naloge, imenovane identifikacija strukture, je določiti ustrezno strukturo modela,
tj. funkcionalno obliko modela. V praksi navadno strokovnjak poda strukturo
modela v problemski domeni, ki odraža predhodno znanje o domeni: govorimo o teoretični
identifikaciji v nasprotju z emprično identifikacijo, ki temelji le na podatkih. Identifikacija
strukture igra pomembno vlogo pri modeliranju, saj določa možnost izbire najboljšega
modela.
Cilj druge naloge, imenovane identifikacija parametrov modela, je pri dani strukturi
modela opazovanega sistema in izmerjenih podatkih tega sistema oceniti vrednosti
parametrov modela tako, da se bo ta kar najbolj ujemal z izmerjenimi podatki. Natančna
ocena vrednosti parametrov modela je pomembna pri opisu in analizi obnašanja modeliranega
sistema ter je torej ključni korak skoraj vseh pristopov za rekonstrukcijo dinamike
sistemov iz izmerjenih podatkov. To velja tako pri teoretični in empirični identifikaciji
sistema, kakor tudi pri tradicionalnem (človeškem) in avtomatskem modeliranju, tj. avtomatsko
odkrivanje ustrezne strukture modela in vrednosti parametrov modela z uporabo
orodij za odkrivanje enačb.
V disertaciji obravnavamo nalogo identifikacije parametrov v modelih dinamičnih realnih
sistemov, ki so podani s sistemov diferencialnih enačb. Obravnavamo dve področji,
in sicer: sistemsko biologijo in ekološko modeliranje. Nalogo rešujemo s tradicionalnim,
frekventističnim pristopom, ki temelji na oceni najmanjših kvadratov. Kar pomeni,
da obravnavamo parametre kot konstante katerih optimalne vrednosti so tiste, ki minimizirajo
namensko funkcijo, tj. vsoto kvadratov napak med napovedjo modela in izmerjenimi
podatki. Ocena najmanjših kvadratov je v osnovi optimizacijski problem, ki lahko
pri kompleksni dinamiki sistema postane pretežak za tradicionalne, gradientne optimizacijske
metode. Zato se tega problema lotevamo z uporabo naprednih, metahevrističnih
pristopov, kakršni so evolucijsko računanje in inteligentni roji.
Za modele bioloških in ekoloških sistemov v splošnem velja, da so nelinearni in imajo
veliko parametrov. Večina parametrov je neznanih in se morajo identificirati na osnovi redkih,
običajno nenatančnih meritev, ki le delno odražajo obnašanje modeliranega sistema
(t. i. omejena observabilnost). Vse te omejitve lahko vodijo k problemu, ko ni mogoče
najti prave vrednosti parametrov (t. i. problem identifikabilnosti parametrov), kar še
otežuje nalogo identifikacije parametrov. Po drugi strani je namenska funkcija definirana
posredno, kar zahteva uporabo dragih integratorjev za numerično reševanje sistema
diferencialnih enačb, ki se mora izvajati med optimizacijo za vsako nastavitev parametrov
posebej. Oboje se odraža v tem, da je identifikacija parametrov izjemno težek in računsko
zahteven korak v procesu rekonstrukcije strukture in obnašanja bioloških in ekoloških
sistemov.
Z disertacijo skušamo izboljšati kakovost rekonstruirane dinamike sistema tako, da
izboljšamo identifikacijo parametrov. V povezavi s tem smo opravili obsežno empirično
vrednotenje gradientne optimizacijske metode in več izbranih metahevrističnih metod
za reševanje problema identifikacije parametrov v nelinearnih dinamičnih modelih. Kot
primer smo vzeli dva realna sistema: življenjski cikel endosoma v endocitozi in prehranjevalno
mrežo v Blejskem jezeru. Primerjali smo gradientno optimizacijsko metodo,
imenovano Algoritem 717, in naslednje metahevristične metode: diskretni in zvezni diferencialni
algoritem s stigmergijo mravelj, optimizacijo z roji delcev in difrencialno evolucijo.
Upoštevali smo različne eksperimentalne scenarije z namenom da bi raziskovali:
učinek omejene observabilnosti dinamike sistema, vpliv metodo za numerično reševanje
sistema diferencialnih enačb in vpliv šuma v podatkih na kompleksnosti problema identi
fikacije parametrov; v tej zvezi smo tudi ocenili uporabnost in učinkovitost različnih
optimizacijskih metod.
Empirična analiza je pokazala, da so globalne, metahevristične optimizacijske metode
za identifikacijo parametrov boljše in primernejše od lokalnih, gradientnih optimizacijskih
metod. Med metahevrističnimi optimizacijskimi metodami ni pomembnejših razlik
v učinkovitosti, a vseeno dosega diferencialna evolucija najboljše rezultate, tako glede
kakovosti rekonstruirane dinamike sistema, kakor tudi glede hitrejše konvergence k rešitvi.
Ugotovili smo tudi, da se z omejevanjem observabilnosti sistema povečuje težavnost
optimizacijskega problema. Rezultati jasno kažejo kako pomembna je izbira prave namenske
funkcije kadar je dinamika sistema le delno observabilna. Uporaba preprostega,
enokoračnega trapezoidnega integratorja z nadzorovano predikcijo vodi k hitrejši identifikaciji parametrov, uporaba večkoračnega integratorja s spremenljivimi koeficienti in
nenadzorovano predikcijo pa se odraža v boljši identifikaciji parametrov v primeru realnih,
merjenih podatkov.
Ukvarjali smo se tudi s problemom identifikacije parametrov v procesu avtomatskega
modeliranja dinamičnih sistemov, kjer imamo na voljo številne strukture modela. Ena
od slabosti obstoječih pristopov avtomatskega modeliranja je uporaba lokalnih iskalnih
metod za identifikacijo parametrov. Zato smo raziskovali vpliv uporabe globalne in lokalne
optimizacijske metode pri identifikaciji parametrov na rezultat avtomatskega modeliranja,
tj. izbiro modelov. Obravnavali smo avtomatsko modeliranje letne dinamike fitoplanktona
v Blejskem jezeru na osnovi meritev opravljenih v osmih zaporednih letih, kar pomeni
osem različnih nalog modeliranja. Rezultati empirične analize kažejo, da uporaba globalne
optimizacijske metode prinaša prednosti v procesu izbire modelov in odpira možnost
zanesljivejšega modeliranja dinamike v daljšem časovnem obdobju.
Glede uporabe optimizacijskih metod za identifikacijo parametrov v dinamičnih sistemih
ostajajo številni izzivi, zlasti v okviru avtomatskega modeliranja. Po eni strani
bi bilo smiselno v analizo, ki je bila opravljena v disertaciji, vključiti še dodatne dinami
čne sisteme (po možnosti z drugih področij), po drugi strani pa se odpira še veliko
možnosti za izboljšanje obstoječih metod za avtomatsko modeliranje. Zadnje vključuje:
uporabo primernejše in bolj informativne namenske funkcije, kakor tudi bolj robustne in
hitrejše metode za identifikacijo parametrov. Ne nazadnje si lahko veliko obetamo tudi
od primernega upoštevanja rezultata analize identifiabilnosti v procesu izbire modela.