REPOZITORIJ > REZULTATI

Povzetek

Vse pogosteje se na področju inženirstva in numeričnih simulacij uporabljajo brezmrežne
metode. Njihova glavna prednost je, da v nasprotju s tradicionalnimi numeričnimi metodami
zapleteno grajenje mreže za diskretizacijo računske domene ni potrebno. Do danes so
znanstveniki razvili več metod za brezmrežno aproksimacijo linearnih diferencialnih operatorjev,
ki se pojavijo v matematičnem opisu problemov. Kljub modernim in učinkovitim
metodam ter visoki zmogljivosti današnjih računalnikov pa je razvoj učinkovitih metod za
reševanje sistemov parcialnih diferencialnih enačb (PDE) še vedno aktivno področje raziskav
– predvsem zaradi naraščajoče kompleksnosti obravnavanih problemov, ki zahtevajo
vse več računske moči.
V disertaciji se osredotočimo na različne pristope k učinkovitejšim postopkom reševanja
PDE z brezmrežnimi metodami. Pri tem se omejimo na tri pogosto uporabljene aproksimacijske
metode: končne diference, generirane z radialnimi baznimi funkcijami (RBF-FD),
metodo difuzivne aproksimacije (DAM), ki jo v tem delu poenostavljeno imenujemo kar
metoda uteženih najmanjših kvadratov (WLS), in najpreprostejšo metodo kolokacije MON.
Prvi del disertacije je posvečen diskusiji osnovnih značilnosti aproksimacij z brezmrežnimi
metodami. Najprej preučimo vpliv razširitve baznih funkcij aproksimacije z monomskimi
členi na natančnost numerične rešitve ter na stabilnost in računsko kompleksnost
rešitvenega postopka. Razumevanje brezmrežnih aproksimacij nato poglobimo s študijo
vpliva velikosti podpornih domen na natančnost numerične rešitve. Nazadnje¸ primerjamo
še RBF-FD in WLS metodi ter ju ovrednotimo z vidika natančnosti numerične rešitve in
stabilnosti rešitvenega postopka.
Po demonstraciji stabilnosti RBF-FD aproksimacij višjega reda, se v drugem delu disertacije
poglobimo v razvoj in implementacijo hp-prilagodljivega postopka reševanja sistemov
PDE. Diskusijo pričnemo z implementacijo p-prilagodljivosti in pokažemo vpliv prostorsko
spremenljivega reda aproksimacije na učinkovitost rešitvenega postopka. V nadaljevanju
razvijemo izvirni indikator napake numerične rešitve, ki nam omogoči razvoj popolnoma
prilagodljive brezmrežne metode z uporabo h- in p-prilagodljivosti. Tako razvit hp-rešitveni
postopek na podlagi vrednosti indikatorja napake iterativno hkrati prilagaja prostorsko ločljivost
diskretizacije (h-prilagodljivost) in red aproksimacije (p-prilagodljivost) ter s tem
prerazporedi razpoložljive računske vire v dele domene, kjer so le-ti najbolj potrebni.
V zadnjem delu disertacije obravnavamo možnost izboljšanja učinkovitosti postopkov
reševanja PDE preko prostorsko spremenljive metode aproksimacije. Natančneje, uporabimo
osnovne lastnosti lokalne aproksimacije in značilnosti različnih aproksimacijskih
metod ter razvijemo hibridno WLS–RBF-FD aproksimacijo diferencialnih operatorjev. V
naslednjem koraku uvedemo prostorsko spremenljivo regularnost računskih točk, ki jo spremlja
prostorsko spremenljiva metoda aproksimacije. Pri tem uporabimo stabilno RBF-FD
metodo na razpršenih točkah in računsko učinkovito metodo MON na uniformnih točkah.
Vpliv obeh prostorsko spremenljivih aproksimacijskih metod na učinkovitost rešitvenega
postopka je demonstriran na več problemih s področja elastomehanike in dinamike tekočin.